3. How to Calculate Present Values

Principles of Corporate Finance

Principles of Corporate Finance

今日は Chapter 3. How to Calculate Present Values を読んだ。

久しぶりに数学っぽい内容だった。USCPAクソ素敵な税法などより、やはりこういうすっきりした論理的な内容のほうが私の性分には合っているらしい。(しかし、おカネは泥臭い仕事からしか手に入れられないのだよ、キミ・・・)

まずは、有限個のキャッシュフローから成る annuites の現在価値の導入の手際のよさに痺れた。

もう下の図を見たらバッチリじゃないですか。

20100809175157

前提は、1年後から毎年定額の C ずつ永遠に発生するキャッシュフロー(perpetuities) の現在価値は、年利を r として、

PV=\frac{C}{r}

ということ(これを導出するのは簡単だが、ここでは述べない)。

t期の annuity の場合、2つの perpetuites を t 期ずらして、引くわけね。なるほど〜。

というわけで、1年後から毎年定額の C ずつ t 回発生するキャッシュフロー(annuites) の現在価値は、年利を r として、

PV=\frac{C}{r}(1-\frac{1}{(1+r)^t})

となる。

次なるは、複利計算の話。

例えば、定期預金の年利が 10% のとき、1年に1度利息を受け取る代わり、半年に1回、5%ずつ利息を受け取ったらどうなるか?このときの実効年利(annually compounded rate)は、

1.05^2-1=0.1025

で、10.25% になるよ、と。この話をさらに一般化すると、1年に m 回利息を受け取るときの実効年利+1は、

(1+\frac{r}{m})^m

となる。さらに、

\lim_{m\to\infty}(1+\frac{r}{m})^m=e^r

となるのだが、この部分は説明が適当にごまかされているので、数学が苦手な人には理解困難かもしれない。

このときの r を continuously compounded rate と呼ぶ。1年分の discount factor は e^{-r} になるから、t 年後の $1 の現在価値は、e^{-rt} になる。

上の annuities の現在価値の公式の連続版は、

PV=\frac{C}{r}(1-e^{-rt})

となる。

数学は社会科学の分野では麻薬のようなものだ。使っていると気持ちは良くなるけど、現実にはあまり役立たない。だから、ご利用は計画的に、適量を守って服用しましょう。